Um breve passeio ao Infinito real de Cantor.

INTRODUÇÃO  

Georg Cantor – matemático russo
1845-1918

Quantos elementos tem um conjunto infinito?

Podemos imaginar pontos distribuídos ordenadamente sobre uma reta ou eixo ordenado. Se todos os racionais forem colocados sobre essa reta será impossível encontrar “buracos” nessa linha: entre dois números, por exemplo 1/2 e 2/3, existe um outro número, 7/12; entre 1/2 e 7/12 existe 13/24, e entre estes existe ainda outro, e assim sucessivamente… Isto é, parecerá que os pontos estão unidos entre si. Na terminologia deGeorg Cantor, existe uma correspondência biunívoca entre todos os pontos da linha e todos osnúmeros racionais.

Este sistema de números – os racionais – era aquele que Pitágoras acreditava que regia o Universo. No entanto, até Pitágoras sabia que este sistema estava incompleto: há pontos da reta que não estão preenchidos por pontos associados a números racionais, como se pode verificar facilmente marcando sobre ela a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos meçam uma unidade. O ponto determinado pelo comprimento da hipotenusa,  h=RQ(2), não tem equivalente numérico no sistema racional de números. Assim, nem todos os pontos da linha estavam efetivamente preenchidos, pelo que não há correspondência biunívoca entre todos os pontos e todos os números. (obs. RQ = raiz quadrada)

O comprimento da hipotenusa é irracional; para preencher as lacunas na linha, os números irracionais têm de ser introduzidos no sistema. Mas com que fundamento, para além da conveniência e da necessidade, é que eles são introduzidos? E será que a sua admissão resulta no preenchimento de todos os espaços? Foram estas as questões que Cantor se propôs responder, e ao respondê-las transformou radicalmente a idéia acerca daquilo que o número é.

Infinito e os Números Transfinitos

Cantor chegou à noção de infinito – (infinito real, e não a infinidade potencial de limites, por séculos utilizada pelos matemáticos) – sem considerar diretamente os números, mas sim os conjuntos. Para isso, procurou atribuir “tamanhos”, que ele chamou de potências(ou cardinalidade), aos diversos tipos de conjuntos de infinitos elementos. À essas potências deu o nome de “números transfinitos”.

Esses resultados constituíram um primeiro avanço na compreensão do infinito real, e mostraram que as descobertas eram dignas de interesse. Eles permitiram construir umahierarquia de totalidades infinitas.

O Alef

Não satisfeito com a notação para números transfinitos, resolveu então denotá-los usando a primeira letra do alfabeto hebraico:  ℵ(alef)… Mas por que ℵ?

Cantor conhecia a tradição judaica, o alfabeto hebraico e a “cabala” (misticismo judaico, tradição recebida dos judeus). As palavras seguintes começam com a letra ℵ, em hebraico:Ein Sof – infinitude de Deus;  Ehad – um;  Eloim – Deus

Portanto, ℵ representando a natureza infinita e única de Deus, representaria um novo começo para a Matemática: o começo do infinito real.

Como haviam muitos infinitos, cada vez maiores, Cantor levantou a hipótese de haver uma sequência de alefs:    ℵ0, ℵ1, ℵ2, · · · , ℵn, · · ·, apesar de não saber a colocação exata de cada um.

A Unidade Cardinal

A princípio, Cantor denotou o menor nº transfinito, que é a cardinalidade do conjunto dosnúmeros naturais, por ω. Posteriormente, concluiu que o conjunto infinito possui um subconjunto equipotente a N. Logo, a cardinalidade (quantidade de elementos) de qualquer conjunto infinito é maior ou igual à cardinalidade dos naturais (ℵo).

Quando os elementos de um conjunto podem ser colocados em correspondência biunívoca (bijeção) com o conjunto dos números naturais, diz-se que ele é contável ou enumerável,e sua potência (ou cardinalidade) também é ω.

Naturais X Reais

Cantor, sempre preocupado em classificar os infinitos, descobriu com assombro que objetos de dimensões diferentes tinham a mesma ordem de infinito. Em termos de tamanho (no sentido dos conjuntos infinitos), uma reta e um plano (ou mesmo um espaço de dimensão n) são idênticos. A respeito disso, ele escreveu, em 1877, para Dedekind… “Estou vendo, mas não acredito”… http://www.matematica.br/historia/dedekind.html

Em 1874, Cantor percebeu entretanto, que o conjunto dos números reais (C®) não pode ser posto em bijeção com o dos naturais C(N): ele é de tamanho estritamente maior. Por um método simples e elegante, denominado raciocínio diagonal, Cantor provou que os números reais não são enumeráveis, e chamou a potência daquele conjunto de contínuo.

E como os conjuntos infinitos podem apresentar uma infinidade de tamanhos, Cantor provou também que a cardinalidade C® é igual à cardinalidade de P(N), o conjunto das partes de N.

terminologia:

N – conjunto dos números naturais (enumerável, com cardinalidade unitária igual a ℵ0)

Q  - conjunto dos números racionais  [enumerável (com cardinalidade igual à do conjunto dos números naturais N, denotada por ℵ0)]

R – conjunto dos números reais  [não enumerável (com cardinalidade, denotada por c, maior que a de N)]

Cantor se fazia então várias perguntas: Se haviam vários números transfinitos, será que era possível ordená-los?  Haveria um infinito maior que todos os outros?  Haveria algum ‘nº transfinito’ entre ω e c ?…

Aritmética Cardinal

Cantor, que era um teórico conciencioso, desenvolve então uma aritmética do infinito, isto é, uma extensão para os números que lhe servem como medida do infinito, das regras de cálculo que se aplicam aos números naturais, usados para medir o que é finito…(adição, multiplicação, potenciação, etc.).

obs. É importante observar que existe outro tipo de infinito introduzido por Cantor, que deve ser distinguido dos números cardinais, que é o infinito dos números ordinais, que não trataremos aqui. Os cardinais representam o tamanho dos conjuntos, vistos de maneira bruta, sem levar em conta a possível existência de uma ordenação entre seus elementos. O outro tipo de números infinitos de Cantor, os ordinais, serve para assinalar o tamanho dos conjuntos em termos de sua posição em uma sequência, ou seja, quando seus elementos são ordenados, a partir de uma boa ordem (uma ordem tal que todo subconjunto possui um elemento mínimo).

A Hipótese do Continuum

Cantor descobriu um problema de tamanha dificuldade, que ainda hoje não conseguimos dominar completamente: a “Hipótese do Continuum”, definida da seguinte forma:

considerando o cardinal do conjunto dos números reais, definido como c = 2e(ℵ0), também chamado de contínuo, estritamente maior que o cardinal dos números naturais, ℵ0,  ahipótese do continuum diz que entre esses dois tamanhos de conjuntos infinitos não há nenhum outro, isto é:  Não existe nº cardinal u tal que ℵ0 < u < c…

Como Cantor designou por ℵ1 o menor cardinal depois de ℵ0, a hipótese do contínuo parac = 2e(ℵ0) é deduzida generalizando, e designando por ℵn+1 o menor cardinal depois deℵn, ou seja: ℵ0 <ℵ1 < . . .<ℵn < ℵn+1;

o que significa que, a hipótese generalizada do contínuo é a afirmação que Não existe n cardinal u tal que ℵr < u < ℵr+1;  assim sendo:

2e(ℵn) = 2e(ℵn+1)  resultaria no limite máximo de c.

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Em 1938, o matemático austríaco Kurt Gödel (1906-1978) mostrou que em qualquer sistema haverá proposições que não podem ser provadas (Teorema da Incompletude de Gödel). Mostrou também que a Hipótese do Continuum é consistente com os axiomas da Teoria dos Conjuntos (não produzia contradições). Gödel, porém, não conseguiu mostrar que a negação da Hipótese do Continuum também era consistente com a Teoria dos Conjuntos.

Em 1963, Paul Cohen (1934-2007), deu o segundo passo. Mostrou que a Hipótese do Continuum era independente de todos os axiomas da Teoria dos Conjuntos. Poderia ser tomada tanto verdadeira como falsa. Verdadeira ou não, a Hipótese do Continuum não poderia ser provada nem refutada no sistema atual. Ganhou a medalha Fields por esse trabalho em 1966.

Esses dois resultados afirmam que, quem aceita a teoria usual dos conjuntos pode, sem risco de introduzir contradições, adotar tanto a hipótese do contínuo, como sua negação.

de www.questcosmic.wordpress.com